torsdag 5. november 2009

Fete haler og effektive markeder

Kan varierende risiko forklare ekstreme kurssvingninger? Ja, og her kommer en kort forklaring på hvorfor.

I forrige innlegg skrev jeg om hvor dårlig normalfordelingen passer til å beskrive avkastning i aksjemarkeder. For å illustrere problemet så vil det med standard forutsetninger gå 17 000 år mellom hver gang en ser prisendringer på over 10%. I fjor høst skjedde det to ganger på Oslo Børs.

Problemet er at normalfordelingen gir for dårlig sannsynlighet for ekstreme hendelser, slik som finanskrisen. Forfattere som Nassim Taleb har derfor hevdet at de finansielle modellen er håpløst i uttakt med virkeligheten. Denne kritikken bygger imidlertid på uvitenhet. Fete haler kan nemlig enkelt forklares ved at risikoen forandrer seg over tid.

Problemet med fete haler er illustrert i figuren over. Stolpene representerer hvor ofte daglige prisendringer fra -4,2% til +4,1% har inntruffet for den amerikanske Dow Jones-indeksen (DJ). Den rødelinjen er et forsøk på å tilpasse normalfordelingen til den faktiske DJ-avkastningen. Vi ser at normalfordelingen gir for liten sannsynlighet for ekstreme utfall (endring på mer en ca 1%)

Det interessante her er imidlertid at en ved å kombinere flere ulike normalfordelinger enkelt kan finne en fordeling som passer meget godt. I figuren er det illustrert med den blå kurven. Som vi ser passer den svært godt til de empiriske dataene. Den blå kurven er fordelingen som fremkommer ved å la markedet veksle mellom tre regimer med ulik risiko. Vi ser altså at problemet med "fete haler" enkelt kan løses ved å anta varierende risiko.

6 kommentarer:

  1. Dette er veldig spennende lesning! Selv om jeg hadde stor glede av Nassims bok om tilfeldigheter hadde det vært festlig å se eksempler der hans kjepphøye påstander viser seg å være feilaktige. Desverre har jeg problemer med å forstå hvordan du kombinerer normalfordelinger for å komme frem til fete haler og hvordan kan brukes til å forstå risiko(?).

    Kan du skrive litt mer om temaet, eller tipse om bakgrunnsinformasjon?

    Ellers mange takk for en lettfattelig og informativ blogg!

    SvarSlett
  2. Hei, takk skal du ha!

    At en rekke normalfordelinger kan forklare fete haler ble bemerket allerede tidlig på 70-tallet (Rosenberg (1972): "The Behavior of Random Variables with Nonstationary Variance and the Distribution of Security Prices")

    Konkret kommer en frem til den kombinerte fordelingen slik:

    Tenkt deg at markedet skifter mellom en tilstand av høy usikkerhet og lav usikkerhet, gitt ved standardavvikene sd1 og sd2, og at sannsynligheten for hver tilstand er p og (1-p). Om en ser på periodene med sd1 eller sd2 isolert, så vil hver av disse fremstå som normalfordelte. Om en ser på ALLE observasjonene derimot, så vil fordelingen være gitt med tetthetsfunksjonen

    g(x)=p*f(x,sd1)+(1-p)*f(x,sd2)

    der f(x,sd) er tetthetsfunksjonen til normalfordelingen.

    Om en så plotter g(x) på en graf, så vil en se at den har fetere haler enn f(x,sd).

    Beregningene for grafen (med tre variansregimer) finner du her: http://ansatte.uit.no/esi000/Fete%20haler.xls

    Var dette oppklarende?

    SvarSlett
  3. Ja, det var oppklarende! Morsomt med Excelarket.

    Imidlertid gir vel dette en bedre beskrivelse av den historiske "risikoen", men det sier vel ingen ting om risikoen i dag (/morgen)? Hvis jeg er investert i et indeksfond mot DJIA kan jeg da bruke denne informasjonen til noe?

    Det er vel det som er kjernen i Talebs påstander?

    SvarSlett
  4. Det er helt riktig at dette gir en beskrivelse av den historiske risikoen, men om en tenker etter så er det jo faktisk denne risikoen Taleb snakker om også. Hans eksempler på "svarte svaner" i vår historie er jo nettopp empirske historiske eksempler. Husk at DJIA-historien inneholder i hvertfall 6 store kriger der USA har vært involvert, i tillegg til en rekke større og mindre katastrofer (oljepris, børskrakk, katarina etc.). Dataene inneholder altså også de svarte svanene.

    Med forbehold mot at en enorm katastrofe av dimensjoner vi ikke hittil har opplevd intreffer snarlig, så vil jeg derfor påstå at historien til DJIA gir en god pekepin på hvilken risiko du tar når du investerer i indeksen.

    Du kan for eksempel ved hjelp av den kombinerte normalfordelingen regne ut sannsynligheten for ulike tap. Bruker du en enkel normalfordeling med én varians, og regner ut det samme, så blir naturligvis tapene alt for små i forhold til det historien antyder.

    SvarSlett
  5. Veldig godt poeng, du har overbevist meg!

    Men: "Det er annerledes denne gangen" - Er det ikke det vi pleier å si?

    SvarSlett
  6. Nei, du har rett, fremtiden er uforutsigbar. Hva neste katasrofe blir kan vi ikke vite, men vi kan i hvertfall anslå hvilken effekt den vil ha på noen økonomiske variabler. Katastrofer verre enn det vi har sett i moderne historie kan selvsagt intreffe, men det hjelper vel lite å gå og bekymre seg over det.

    SvarSlett